Podstawy teoretyczne
Rewolucję w statystyce medycznej wywołało powszechne zastosowanie szybkich komputerów. Wraz z rozpowszechnieniem coraz bardziej rozbudowanych programów wspomagających obliczenia statystyczne analiza danych stała się możliwa do wykonania bezpośrednio przez lekarza prowadzącego badania naukowe. Łatwość, z jaką obecnie można otrzymać wynik, nawet najbardziej wyszukanego testu statystycznego, nie zwalnia od zapoznania się choćby z podstawowymi zasadami stosowania takiego testu.
Statystyka medyczna jest nauką żywą, która wciąż ewoluuje, jednak pewien kanon metod pozostaje niezmienny. Dlatego każdy, kto samodzielnie analizuje wyniki eksperymentów lub chce tylko czytać ze zrozumieniem współczesne prace naukowe, powinien poznać powyższy kanon.
Praca ma na celu krótkie i praktyczne omówienie zasad stosowania testu χ2, bez którego nie może obyć się analiza statystyczna ogromnej większości publikowanych prac medycznych. W badaniach klinicznych często ma się do czynienia z różnymi typami zmiennych lub inaczej cech (tak określa się informację jednostkową w języku analizy statystycznej). Najogólniej wyróżnia się zmienne (cechy) jakościowe (nominalne) oraz zmienne ilościowe. Zmienne jakościowe pozwalają na klasyfikację chorych względem różnych i rozłącznych kategorii. Typowymi zmiennymi tego rodzaju są: płeć, występowanie określonej choroby czy zaszeregowanie chorych w różnych skalach – skali zaawansowania dławicy piersiowej opracowanej przez Kanadyjskie Towarzystwo Kardiologiczne (ang. Canadian Cardiovascular Society – CCS), skali służącej do klasyfikacji ciężkości objawów niewydolności krążenia zaproponowanej przez Nowojorskie Towarzystwo Kardiologiczne (ang. New York Heart Association – NYHA) czy klasyfikacji Killipa-Kimballa opracowanej do oceny niewydolności serca w świeżym zawale mięśnia sercowego. Oznacza to m.in., że zmienna jakościowa ma charakter odpowiedzi w postaci słownej i jest niemierzalna. Zmienne ilościowe mogą dostarczyć informacji np. o czasie pomiędzy dwoma zdarzeniami – wówczas mówi się o zmiennej ciągłej. Jeśli określa się liczbę zdarzeń, które miały miejsce w rozpatrywanym przedziale czasu, mówi się o zmiennej dyskretnej lub inaczej skokowej. Przykładem zmiennej ciągłej może być czas hospitalizacji pacjenta, wzrost czy masa ciała. Zmienną dyskretną będzie np. liczba przebytych operacji w dotychczasowym życiu. Tu odpowiedź może być tylko w postaci liczby całkowitej, a nie, jak w przypadku zmiennej ciągłej, gdzie może przyjmować dowolną wartość (czas pobytu w szpitalu może być teoretycznie określony z dowolną dokładnością). Często interesujący jest wpływ jednej cechy jakościowej na drugą cechę tego samego typu, np. wpływu płci na częstość występowania danej choroby lub na rozkład punktacji CCS/NYHA w populacji chorych. W takim przypadku należy posłużyć się odpowiednim aparatem obliczeniowym i testem statystycznym. Najczęściej stosowanym testem jest w takiej sytuacji opracowany w 1900 r. przez Karla Pearsona test niezależności χ2. Obszar stosowalności tego testu obejmuje nie tylko analizę częstości występowania cech jakościowych, ale również analizę zgodności cech ilościowych oraz przypadki badania zależności cechy jakościowej od ilościowej.
Tak jak każdy test statystyczny, tak też χ2 umożliwia oszacowanie prawdopodobieństwa błędu pierwszego rodzaju popełnianego przy odrzucaniu hipotezy zerowej (H0). Podobnie jak w przypadku większości testów stosowanych w analizie danych medycznych, H0 jest hipotezą zakładającą brak wpływu cechy jakościowej na wartość drugiej ocenianej cechy, np. brak wpływu płci na częstość występowania raka trzonu macicy. Odrzucając H0, przyjmuje się hipotezę alternatywną, że płeć istotnie wpływa na częstość występowania raka szyjki macicy.
Błąd pierwszego rodzaju popełnia się wówczas, gdy na podstawie przeprowadzonej analizy statystycznej stwierdza się, że uzyskane wyniki są istotne statystycznie, podczas gdy w rzeczywistości jest wręcz odwrotnie. Jako wynik analizy statystycznej podaje się właśnie prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju (p). Decyzję co do istotności danego prawdopodobieństwa podejmuje badacz, porównując jego wartość z założonym poziomem istotności (α). W naukach medycznych powszechnie przyjmuje się za istotną wartość p < 0,05, co oznacza, że akceptuje się jeden błąd pierwszego rodzaju na 20 analiz.
Wśród dwóch najważniejszych założeń stosowalności testu χ2 należy wymienić ograniczenie dotyczące minimalnej liczebności próby oraz niezależność grup. Minimalna liczebność próby powinna wynosić nie mniej niż 5 osób. Związane jest to z faktem, że χ2 testuje prawdopodobieństwa w poszczególnych komórkach. Oceny tych prawdopodobieństw dla liczebności poniżej 5 mogą być niewystarczająco precyzyjne [3–5]. Przy dużych badaniach spełnienie tego założenia nie stanowi problemu. Jednak przy małej liczbie osób biorących udział w badaniu może dojść do sytuacji, w której jedna z wydzielonych podgrup ma liczebność mniejszą niż wymagana wartość minimalna. Wówczas do używanego testu należy zastosować tzw. poprawki na ciągłość. W większości programów statystycznych są one uwzględniane automatycznie. Aby spełnić warunek niezależności między grupami, w zasadzie wystarczy zwrócić uwagę tylko na to, aby wynik otrzymany dla jednej osoby odzwierciedlał jedną cechę. Zastosowana klasyfikacja powinna być także wyczerpująca – czyli suma osób należących do wszystkich podzbiorów, na które została podzielona grupa, powinna obejmować cały rozpatrywany zbiór – oraz rozłączna, co oznacza, że jeden element (pacjent) nie może znaleźć się w więcej niż jednej podgrupie. Problem z niezależnością między grupami pojawia się wówczas, gdy zadawane pytania zakładają możliwość wielokrotnej odpowiedzi, wtedy danego pacjenta można zaliczyć do wielu grup i niespełniony jest warunek niezależności pomiędzy nimi.
Do zobrazowania zastosowania testu niezależności χ2 rozważone zostaną sytuacje, w których spośród populacji wybrano n osób do przeprowadzenia na nich badania. Zebrane wyniki dla tej grupy przedstawione będą w postaci tabeli, w której w wierszach/rzędach (r) przedstawione są dane dotyczące jednej cechy, a odpowiednio w kolumnach (k) drugiej. W ten sposób zostanie utworzona tablica liczności, która pozwala na weryfikację H0, mówiącej, że przy przyjętym poziomie istotności α w populacji nie ma zależności między cechami. Do weryfikacji tej hipotezy stosuję się statystykę χ2 (pakiety Statistica, SAS).
Modyfikacje testu chi-kwadrat
Należy pamiętać, że test χ2 stosuje się w przypadku, gdy liczba badanych przekracza 40 osób, a liczebności w każdej podgrupie są nie mniejsze niż 10. W badaniach medycznych jednak bardzo często ma się do czynienia z mniejszą grupą osób lub z mniejszymi liczebnościami w odpowiednich podgrupach. W związku z tym należy zastosować odpowiednie modyfikacje (poprawki) do testu χ2, tak aby dobrze odzwierciedlał rozpatrywany przypadek.
Poprawki często obserwuje się jako opcje, które można wybrać, wykonując analizę z wykorzystaniem pakietu statystycznego (np. Statistica). Ich mnogość może być kłopotliwa, dlatego poniżej umieszczono podstawowe informacje, kiedy i jaką poprawkę należy zastosować (tab. I).
Dodatkowo, jeżeli tabela, do której wprowadzono dane, składa się z trzech lub więcej rzędów lub kolumn oraz zmienna ma pewien naturalny porządek, np. klasą CCS można testować hipotezę o występowaniu trendu. Do tego celu służy test Cochrana-Armitage [6], który pozwala ocenić, czy występuje liniowa zależność pomiędzy proporcjami w poszczególnych kategoriach. Można go znaleźć np. w pakiecie Statistica czy MedCalc.
Natomiast aby określić istotność różnicy między wynikami w przypadku prób powiązanych, należy zastosować test χ2 McNemary [3–5]. Test ten stosuje się, gdy przeprowadza się badanie dwukrotnie na tej samej grupie chorych, np. przed podaniem leku i po jego podaniu.
Przykłady zastosowania testu chi-kwadrat
W celu głębszego zrozumienia zagadnienia warto posłużyć się konkretnym przykładem. Matusik i wsp. opisali grupę 93 osób, wśród których były 73 kobiety i 20 mężczyzn [1]. Autorzy m.in. podzielili badaną grupę ze względu na występowanie i niewystępowanie nadciśnienia tętniczego (NT). Do analizy zmiennych jakościowych w grupie z NT i bez NT [obecność cukrzycy, niewydolność serca, niewydolność nerek, zespół osłabienia, obecność przewlekłej obturacyjnej choroby płuc (POChP) lub astmy] użyto testu niezależności χ2. W przypadku, gdy którakolwiek z liczebności oczekiwanych wyniosła 5 lub mniej, użyto testu χ2 z poprawką Yatesa, dla liczebności poniżej 10 i powyżej 5 autorzy zastosowali test V-kwadrat. Matusik i wsp. podają, że wśród 73 przebadanych kobiet u 14 nie stwierdzono występowania NT (70%), podczas gdy wśród 20 przebadanych mężczyzn u 6 nie stwierdzono NT (30%), a u 14 (70%) choroba ta wystąpiła [1]. Korzystając z tablicy liczebności dla tych danych (tab. II), można obliczyć za pomocą pakietu Statistica wartość statystyki χ2, która w tym przypadku wynosi χ2 = 1,09 (p = 0,2967).
Otrzymaną wartość prawdopodobieństwa porównuje się z przyjętym poziomem istotności α = 0,05. Okazuje się, że dla związku płeć–NT wartość p nie przekracza wartości krytycznej, co pozwala przyjąć H0 o braku wpływu płci na częstość występowania NT w badanej populacji. Podobnie przeprowadzona analiza dotycząca występowania niewydolności serca, niewydolności nerek, zespołu osłabienia w grupie pacjentów z NT i bez niego [1] prowadzi do analogicznych spostrzeżeń (tab. III i IV). W tych przypadkach jednak ze względu na liczebności w niektórych podgrupach nie większe niż 5, zastosowano test χ2 z poprawką Yatesa.
Podsumowując, otrzymane wartości prawdopodobieństw są z przedziału (1–α), gdzie α oznacza przyjęty poziom istotności równy 0,05. Pozawala to przyjąć na poziomie istotności 0,05 (a taki stosują autorzy) H0 o braku różnic w częstości występowania cukrzycy, niewydolności serca, niewydolności nerek czy zespołu osłabienia pomiędzy pacjentami bez NT i z NT w badanej grupie. Warto zwrócić uwagę, że różnic istotnych statycznie pomiędzy analizowanymi zmiennymi a występowaniem NT można byłoby się spodziewać, gdyby wystąpiły duże dysproporcje w częstości występowania np. cukrzycy w grupie bez NT i z NT.
Test niezależności χ2 daje także możliwość, aby w prosty i niebudzący wątpliwości sposób analizować dane odsetkowe. Tego typu problemy występują w przypadkach klasyfikacji chorych wg licznych skal stosowanych w medycynie klinicznej, takich jak skala NYHA czy skala CCS. Müller i wsp. przedstawiają dane dotyczące liczby chorych w kolejnych klasach NYHA, którzy byli leczeni dwoma różnymi lekami moczopędnymi [7]. Analizując otrzymane wyniki, napotkali na typowy w badaniach medycznych problem niewielkiej liczby pacjentów w podgrupach (tab. V).
W klasie I–II znajduje się tylko jeden chory w grupie leczonej torasemidem, brak natomiast chorych w grupie leczonej furosemidem, co uniemożliwia zastosowanie testu χ2. Ponadto, w wydzielonej przez autorów klasie III–IV znajduje się zaledwie po jednym chorym w obu grupach. W tej sytuacji autorzy, chcąc porównać rozkład klas NYHA w obu grupach, zdecydowali się na procedurę uśredniania oraz analizy statystycznej „średniej klasy NYHA” wraz z jej odchyleniem standardowym w obu grupach. Jest to typowa nieścisłość, jaką można zaobserwować w licznych pracach z zakresu medycyny. Procedura uśredniania w przypadku tego typu danych (jakościowych) jest niedozwolona, klasy NYHA oznaczone są wprawdzie numerycznie, co zapewne prowadzi do popełnienia tego błędu, ale co w sytuacji, gdyby klasy oznaczone były literami alfabetu?
Rozwiązaniem tego problemu jest zawsze powiększenie grup lub połączenie kilku klas. W cytowanej pracy [7] wystarczy włączyć chorych z klasy I–II do grupy NYHA II, a klasę III–IV do klasy III lub IV, tak jak to zrobiono w tabeli VI.
Analizując tak zmienioną tabelę liczności, nie trzeba uciekać się do nieuprawnionego uśredniania, stosuje się bezpośrednio test χ2 z poprawką Yatesa, a otrzymuje się w wyniku wartość χ2 = 5,53 przy 3 stopniach swobody. Wyliczone przez program prawdopodobieństwo takiego wyniku p = 0,14 przekracza założoną wartość α, co nie pozwala odrzucić H0. Analizując wartości średnie NYHA, otrzymuje się p = 0,198, co także zmusza do wyciągnięcia analogicznego wniosku. Zatem w pracy nie popełniono błędu wnioskowania. Zastosowano natomiast źle dobraną metodę dającą akurat w tym przypadku prawidłowy wynik.
Podsumowanie
Analizowanie danych z wykorzystaniem testu χ2 nie sprawia większych problemów pod warunkiem, że badacz posiadł podstawową wiedzę z zakresu statystyki. Nawet nie będąc ekspertem w tej dziedzinie, lekarz prowadzący badania naukowe może stać się w pełni świadomym, zaawansowanym użytkownikiem pakietu statystycznego. Wiedza ta z pewnością ułatwi planowanie dalszych badań i analizę otrzymywanych wyników.
Należy zwrócić uwagę, że im większa jest różnica pomiędzy wartościami doświadczalnymi, czyli faktycznie zaobserwowanymi przez badacza, a teoretycznymi, czyli takimi, jakich należałoby oczekiwać, gdyby zmienne były od siebie niezależne, tym silniejsza zależność pomiędzy grupami. Wprawdzie nie przesądza to jeszcze o istotności statystycznej, jednak pozwala wyrobić sobie pewną intuicję co do oczekiwanych wyników. Często analizując już same tylko tabele liczebności dla przeprowadzonego badania, można wstępnie ocenić, czy istnieje szansa, że zależności takie występują. Dodatkowo wiadomo będzie, czy do przeprowadzenia analizy statystycznej wystarczy użyć testu niezależności χ2, czy którejś z jego modyfikacji. Jak widać, wstępna analiza jest bardzo prosta, nie wymaga znajomości zaawansowanego modelu matematycznego czy analizy statystycznej, pozwala natomiast uchronić się od popełnienia podstawowych błędów.
Piśmiennictwo
1. Matusik P, Nowak J, Tomaszewski K, Chmielowska K, Parnicka A, Dubiel M, Gąsowski J. Nadciśnienie tętnicze u osób w wieku podeszłym na przykładzie mieszkańców domów opieki. Polski Przegląd Kardiologiczny 2010; 12; 186-191.
2. Weiss SA, Blumenthal RS, Sharrett AR, Redberg RF, Mora S. Exercise blood pressure and future cardiovascular death in asymptomatic individuals. Circulation 2010; 121: 2109-2116.
3. Kendall M, Stuart A. The advanced theory of statistics. 4th ed. Griffin, London 1979.
4. Fienberg SE. The analysis of cross-classified categorical data. 2nd ed. Springer 216, New York 2007.
5. Bishop YMM, Fienberg SE, Holland PW. Discrete Multivariate Analysis: Theory and Practice. MA: MIT Press, Cambridge 1975.
6. Armitage P. Tests for linear trends in proportions and frequencies. Biometrics 1955; 11: 375-386.
7. Müller K, Gamba G, Jaquet F, Hess B. Torasemide vs. furosemide in primary care patients with chronic heart failure NYHA II to IV – efficacy and quality of life. Eur J Heart Fail 2003; 5: 793-801.
